有限覆盖定理的证明
有限覆盖定理是一个有用而且重要的定理．它是数学分析处理问题的一种重要方法，在数学各领域中都有广泛的应用．有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间．由“无限转化为有限”是质的变化，它对证明函数的某些性质提供了新的数学方法 。
覆盖：设有任意个区间（可以是开区间，也可以是闭区间，还可以是半开半闭区间；可以是有限个区间，也可以是无限个区间），它们构成了一个集合H（集合H的所有元素均为区间）。如果对于一个数集S，S中的任意一个元素都属于H中的至少一个区间，那么称H是S的一个覆盖。
它的等价定义为，若S包含于任意个区间所构成的并集，则称这些区间构成的集合H是S的一个覆盖。
特别地，当H中的元素全部为开区间时，称H是S的开覆盖。
从上例可以看到，一个集合的覆盖是允许存在交集的。
有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。
该定理反映了实数的完备性，可以用戴德金定理来证明。
设闭区间[a,b]有一个无限开覆盖H，下面结合反证法证明[a,b]能被H中的有限个开区间覆盖。
令所有这些x，连同区间(-∞,a]上的所有数构成一个数集A，并把A在实数集R中的补集设为B。则：
①由取法可知A、B皆非空；
②A∪B=R；
③根据取法，A中的数都落在区间(-∞,x]上（且[a,x]可以被H的有限个开区间覆盖），而B中的数落在(x,+∞)上（且[x,b]不能被H的有限个开区间覆盖），∴A中任意一个元素都小于B中任意一个元素。
根据戴德金定理，存在唯一实数η，使η是A、B的分界点，且η要么是A中最大值，要么是B中最小值。
假设η是A中的最大值，显然有η∈(a,b)。那么，
∵[a,η]被H中有限个开区间覆盖（并设这有限个开区间构成的集合为H1，H1⊂H）
取足够小的ε>0，使η+ε仍落在区间(p,q)内，这样一来，[a,η+ε]依然可以被H1所覆盖。而H1是H的有限个开区间构成的集合，即[a,η+ε]被H的有限个开区间所覆盖。
∴η+ε∈A，与η是A中最大值相矛盾。
这是上述证明的图示。
若η是B中的最小值，η∈(p2,q2)∈H,取足够小的ε>0，使η-ε仍大于p2，则η-ε∈A。
∴[a,η-ε]被H中有限个开区间覆盖（并设这有限个开区间构成的集合为H2，H2⊂H）。在H2中加上区间(p2,q2), 形成集合H3，那么H3仍是H中有限个开区间构成的集合。
这样一来，容易证明[a,η]可以被H3所覆盖。而H2是H的有限个开区间构成的集合，即[a,η]被H的有限个开区间所覆盖。
∴η∈A，与η是B中最小值相矛盾。
∴一开始的假设不成立，[a,b]必然被H中的有限个开区间覆盖，定理得证。
以上证明的核心其实就是开区间之间无法找到符合戴德金定理的那个分界点，所以只能被有限区间覆盖。
